Question

对偶单纯形法求解对偶问题

Answer 1

对偶单纯形法是线性规划中常用的算法之一。它是在原问题的基础上构造对偶问题，然后通过对偶问题的求解来得到原问题的最优解。这种方法特别适用于原问题的约束条件和目标函数的系数都是非负数的情况。
对于一个线性规划问题，其对偶问题的定义如下：对于原问题的目标函数 $C^T x$ 和约束条件 $Ax \leq b$，构造对偶问题的目标函数为 $b^T y$，约束条件为 $A^T y \geq C$，其中 $x$ 和 $y$ 分别为原问题和对偶问题的变量向量。
对偶单纯形法的求解过程与原单纯形法类似，只是在每次迭代时需要同时更新原问题和对偶问题的对偶变量。具体来说，每次迭代的步骤如下：
1. 检验当前基可行解是否是最优解。如果是，则停止算法；否则，进入下一步。
2. 选择一个非基变量 $x_j$，并根据对偶问题的约束条件计算其对偶变量 $y_i$。
3. 如果 $y_i \leq 0$，则对偶问题无界，原问题无可行解；否则，选择一个基变量 $x_k$，使得 $\frac}$ 最小，将 $x_j$ 和 $x_k$ 交换。
4. 根据交换后的基变量重新计算基可行解和对偶变量，并回到步骤 1。
对偶单纯形法的优点在于它可以通过对偶问题的求解快速得到原问题的最优解，而且在原问题的约束条件和目标函数的系数都是非负数的情况下，对偶问题的求解比原问题更容易。此外，对偶单纯形法还可以用于解决一些特殊的线性规划问题，如最小费用流问题等。
总之，对偶单纯形法是一种有效的线性规划求解算法，它可以通过对偶问题的求解来快速得到原问题的最优解。