Question

已知，如图，AD平行BC，E是线段CD的中点，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC

Answer 1

证明：延长AE交BC延长线于M
因为AD//BC
所以 角DAE = 角M
因为 角AED = 角CEM，CE = DE
所以 三角形DAE 全等于 三角形CME
所以
ME = AE
因为 角DAE = 角BAE
所以 角M = 角BAE
所以 BA = BM
所以 BAM是等腰三角形，BE是底边中线
容易证，BE是顶角的角平分线

Answer 2

E是DC的中点。
过E作EF‖AD，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
又∠DAE=∠AEF，
∴∠BAE=∠AEF，
∴AF=EF。
∵E是DC的中点，
∴F也是AB的中的（EF是梯形ABCD的中位线）
∴BF=EF，
∴∠FEB=∠EBC，
∠FEB=∠FBE，
∴∠EBC=∠FBE，
∴BE是∠ABC的平分线。

Answer 3

取AB的中点F，连接EF
AE平分∠BAD
则∠DAE=∠EAB
E,F分别是CD，AB的中点
∴AD//EF//BC
∴∠DAE=∠AEF
∴∠BAE=∠FEA
∴AF=FE
∵F是AB的中点
∴BF = FE
∴∠FEB=∠FBE
∴EF//BC
∴∠FEB = ∠EBC
∴∠EBC=∠FBE
∴BE平分∠ABC

Answer 4

证明：延长AE交BC延长线于M
因为AD//BC
所以 角DAE = 角M
因为 角AED = 角CEM，CE = DE
所以 三角形DAE 全等于 三角形CME
所以
ME = AE
因为 角DAE = 角BAE
所以 角M = 角BAE
所以 BA = BM
所以 BAM是等腰三角形，BE是底边中线
证，BE是顶角的角平分线

Answer 5

证明：延长AE交BC延长线于M
因为AD//BC
所以 角DAE = 角M
因为 角AED = 角CEM，CE = DE
所以 三角形DAE 全等于 三角形CME
所以
ME = AE
因为 角DAE = 角BAE
所以 角M = 角BAE
所以 BA = BM
所以 BAM是等腰三角形，BE是底边中线
容易证，BE是顶角的角平分线