方程如何解 x^4+x^3—10x^2+x+1=0？
【求解答案】x1=-3.73205，x2=2.61803，x3=0.38197，x4=-0.26795
【求解思路】用待定系数法求解。由于x⁴项的系数为1，所以我们假设x⁴+ x³ -10 x² +x + 1可以用(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)来表示，则
(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)
=(x²+Ax+Bx+A·B)(x²+Cx+D)
=x⁴+ Ax³ + Bx³ +A·Bx² + Cx³ + A·Cx² + B·Cx² + A·B·Cx + Dx² + A·Dx + B·Dx + A·B·D
=x⁴+ (A+B+C)x³ + (A·B+A·C+ B·C+D)x² + (A·B·C+A·D+B·D)x+A·B·D
与原方程比较同幂次项系数，得到如下方程
A+B+C=1 ，x³ 项系数
A·B+A·C+ B·C+D=-10，x² 项系数
A·B·C+A·D+B·D=1，x 项系数
A·B·D=1，常数
求解上述方程，即可得到 A、B、C、D的系数值
分别令
(x+A)=0
(x+B)=0
(x²+Cx+D)=0
求解上述三个方程，即可得到方程的全部解。
【求解过程】
【本题知识点】
1、待定系数法。待定系数法是初等数学中的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
2、使用待定系数法解题的一般步骤。
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
例如：“已知x2-5=（2-A）·x2+Bx+C，求A，B，C的值。”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法。
【本题图解法】
令y=x⁴+ x³ -10 x² +x + 1，取特殊点
①当x=0时，y=1；当x=-1时，y=10；当x=1时，y=-6；当x=-2时，y=-33；当x=2时，y=-13；
②对y求一阶导数，则
y'=4x³+3x²-20x+1
令y'=0，有
4x³+3x²-20x+1=0，用卡丹公式求得，x1=-2.6629，x2=1.8625，x3=0.0504
当x=-2.6629时，y=-41.17319
当x=1.8625时，y=-13.33241
当x=0.0504时，y=1.02513
③对y求二阶导数，则
y"=12x²+6x-20
当x=-2.6629时，y"=12×(-2.6629)²+6×(-2.6629)-20=49.11503>0
当x=1.8625时，y"=12×(1.8625)²+6×(1.8625)-20=32.80188>0
当x=0.0504时，y"=12×(0.0504)²+6×(0.0504)-20=-19.66712<0
④所以，
当x=-2.6629时，y=-41.17319，有局部极小值
当x=1.8625时，y=-13.33241，有局部极小值
当x=0.0504时，y=1.02513，有极大值
⑤根据上述的特殊点，通过描点法绘出其基本图形。从图形中，我们判断出该函数有四个解，分别近似为x1≈-3.7，x2≈2.6，x3≈0.38，x4≈-0.27
【卡丹公式】
解这个方程的一种方法是使用数值计算工具或计算器。然而，我也可以提供一个基本的方法来近似求解这个方程。请注意，这种方法可能不会找到所有的精确解。
1. 首先，可以使用有理根定理来找出可能的有理根。有理根定理指出，如果一个多项式方程有有理根p/q（其中p和q互质），则p是常数项的因子，q是首项系数的因子。对于这个方程，常数项是1，首项系数是1，因此可能的有理根是±1。
2. 将可能的有理根代入方程进行验证。首先，试验x = 1：1^4 + 1^3 - 10 * 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 - 10 + 1 + 1 = -6。然后，试验x = -1：(-1)^4 + (-1)^3 - 10 * (-1)^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 10 - 1 + 1 = -10。这两个值都不等于零，因此±1不是这个方程的有理根。
3. 由于这是一个四次方程，可以尝试使用代数方法进行因式分解，但这可能相对复杂。如果要求更精确的解，可以使用数值方法或计算机软件进行求解。
需要注意的是，这个方程的根可能是复数，因此一些根可能不在实数范围内。在某些情况下，方程可能无法用有限的代数方法求解，需要使用数值方法来获得近似解。
原式=(x^4+x^3+2.25x^2+x+1)-12.25x^2=(x^2+0.5x+1)^2-12.25x^2=(x^2+0.5x+1-3.5x)(x^2+0.5x+1+3.5x)=(x^2-3x+1)(x^2+4x+1)=0
当x^2-3x+1=0时，解得x1=(3+√5)/2，x2=(3-√5)/2。
当x^2+4x+1=0时，解得x3=-2+√3，x4=-2-√3
