Question

怎样求∫1/(1+ x^3) dx的不定积分？

Answer 1

可以使用换元法来求解这个不定积分。设 u = 1 + x^3，那么 du/dx = 3x^2，从而 dx = du/(3x^2+3) = du/(3(x^2+1))。将这个式子代入原式中得到：
∫1/(1+x^3) dx = ∫1/[(1+x)(1-x+ x^2)] dx
= ∫[1/3(x+1) - 1/3(x-2)/(x^2 - x + 1)] dx
对于第一项，可以直接使用常数函数的不定积分公式得到：
∫1/3(x+1) dx = ln|x+1|/3 + C1
对于第二项，可以通过分母的完全平方式，使得分式分解为两个一次分式的和：
1/(x^2 - x + 1) = 1/[(x-1/2)^2 + 3/4]
= (2/3) / [(x-1/2)^2 + 3/4] + (1/3) / [1 + (x-1/2)^2/3/4]
对于第一项，可以使用反正切函数的不定积分公式得到：
∫(2/3) / [(x-1/2)^2 + 3/4] dx = (2/3) arctan[(x-1/2)/(√3/2)] + C2
对于第二项，可以使用对数函数的不定积分公式得到：
∫(1/3) / [1 + (x-1/2)^2/3/4] dx = (1/√3) ln |(x-1/2)/(√3/2) + √[1 + (x-1/2)^2/3/4]| + C3
因此，原式的不定积分为：
∫1/(1+x^3) dx = ln|x+1|/3 + (2/3) arctan[(x-1/2)/(√3/2)] + (1/√3) ln |(x-1/2)/(√3/2) + √[1 + (x-1/2)^2/3/4]| + C
其中，C1、C2、C3和C为任意常数。