Question

在数列{an}中，a1=2,a(n+1)=4an-3n+1 n∈N* 1、证明数列｛an-n｝是等比数列

在数列{an}中，a1=2,a(n+1)=4an-3n+1 n∈N* 1、证明数列｛an-n｝是等比数列 2、求数列｛an｝的前n项和Sn

Answer 1

1、 a(n+1)-（n+1）=4an-3n+1-（n+1）
a(n+1)-（n+1）=4an-4n
=4（an-n）
所以an-n为q=4的等比数列
a1=2
a1-1=1
an-n=1×4^(n-1)
2、an=4^(n-1)+n
Sn=4^0+1+4^2+2+4^2+3+......+4^(n-1)+n
=（1+2+3+....+n）+（4^0+4^1+.....+4^n-1）
=n（1+n）/2+1×（1-4^n-1）/（1-4）

Answer 2

1.a(n+1)=4an-3n+1 n∈N*，
∴a(n+1)-(n+1)=4(an-n),
a1-1=1,
∴数列｛an-n｝是等比数列。
2.由1.an-n=4^(n-1),
∴an=n+4^(n-1),
∴Sn=(1+2+……+n)+[1+4+……+4^(n-1)]
=n(1+n)/2+(4^n-1)/3.