Question

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1.设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，a3，…，a9
求证：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数
2.设a，b是自然数，且满足关系式（11111+a）×（11111-b）=123456789.求证：a- b是4的倍数
3.已知a，b，c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，S=（a+n+1）×（b+2n+2）×（c+3n+3），那么（ ）
A.S是偶数 B.S是奇数 C.S的奇偶性与n的奇偶性相同 D.S的奇偶性不能确定

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Answer 1

1、反证法：
由已知可得5个奇数，4个偶数，设：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个奇数，则a1-1、a2-2、…、a9-9均为奇数。那么由简单的数论可知：奇数-奇数=偶数、奇数-偶数=奇数、偶数-奇数=奇数、偶数-偶数=偶数。
因为a1-1、a3-3、a5-5、a7-7、a9-9均为奇数，故a1、a3、a5、a7、a9为偶数，然而已知中仅有4个偶数，故假设不成立，那么：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数
2、（11111+a）×（11111-b）=123456789化简可得：(a-b)*11111-ab=2468
(注：11111*11111是一个特殊乘法，这类乘法很快得到答案的：123454321)
因为a,b为自然数，故有a>b,(a-b)*11111-ab=2468，由奇偶性可知a-b为偶数(若a-b为奇数，a,b必然一奇一偶，那么(a-b)*11111为奇数，ab为偶数，(a-b)*11111-ab为奇数，矛盾)，a,b奇偶性相同.
设a-b=2k，a=b+2k,代入(a-b)*11111-ab=2468，化简：2k*(11111-b)-b*b=2468
可知b必然为偶数，11111-b为奇数，等号右边是4的倍数，b*b也是4的倍数，则2k*(11111-b)为4的倍数，故k为偶数。
a-b=2k，所以a-b必为4的倍数。
3、由选项就知道是判断S的奇偶性。
假设n为奇数，那么n+1=2k
S=(a+2k)(b+4k)(c+6k),a,b,c两奇一偶，故S为偶数。
假设n为偶数，
S=(a+2k+1)(b+4k+2)(c+6k+3)
要想S为奇数，那么a为偶数，b为奇数，c为偶数，与题设矛盾，那么S必为偶数。
综上，S为偶数。