Question

请问分段函数在分段点的左右极限求法。书上写的是直接代入分段点，为什么可以呢？如下

书上例子：
y=x-1 x<0
0 x=0
y=x+1 x>0
这个分段函数在0点的左右极限为？
用x=0直接代入左右两个式子得 左极限为：-1 有极限为：1
我的问题是：这点是间断点，不连续，怎么可以用极限值等于函数值呢？
苦恼死我了，哪位高人指点一下，谢谢。

Answer 1

希望你能首先区分两个不同的概念，一个是函数在一点的极限存在，另一个是函数在一点的连续性。两个概念的定义有一个非常重要的不同之处就是，函数极限不要求函数本身在所考察的那一点处有定义，只要在这一点的周围满足“ε-δ语言”下的约束关系就可以了，那点的函数值是否存在以及等于什么都不重要；但是，连续性的定义中要求函数在所考察点有意义，并且也要满足相关的“ε-δ语言”下的约束关系。用专业些的数学语言来说就是，函数极限是考察点的去心邻域上的性质，连续性是考察点的邻域上的性质。
针对你的例子来说，求左右极限都是函数极限的问题，与x=0这一点的函数值没有关系！更与是否连续无关。所谓的把x=0直接代入只是指的求极限的方法而已，而没有严格意义上的数学含义。
求函数极限的方法可以用来判断函数是否连续，以及间断点的类型。

Answer 2

意义不同，极限是指极度接近，并不是就是那个点。我只能这么讲了，更严格的说法请自行查找资料