Question

已知正方形ABCD,P为对角线BD上一点,PE⊥BC于E，PF⊥CD于E，PF⊥CD于F 求证：（1）EF=AP （2）EF⊥AP

Answer 1

（1）连结PC，AC，
∵在正方形ABCD中，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
其对角线EF=PC；

在正方形ABCD中，对角线BD与AC互相垂直平分，
∴BD是AC的垂直平分线，
又点P是BD上的一点，
∴由垂直平分线性质可知，PA=PC，
∴PA=EF；

（2）延长FP交AD于点G，延长EP交AB于点H，延长FE交AD的延长线于点M，延长AP交EF于点Q，
易知，四边形BFPH，四边形DGPE都是正方形，
∴四边形AHPG与四边形PECF是全等矩形，
∴∠PAG=∠EPF，
又∠AMF=∠EFC，（内错角相等），
∴∠PAG+∠AMF=∠EPF+∠EFC=90º，
∴在△AQM中，∠MAQ+∠AMQ=90º，
∠AQM=90º，即AP⊥EF.