Question

求解这两道数学题怎么做

1在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为△ABC的面积，满足
a²+b²-c²=(4√3)/3·S
(1)求角C的余弦值
(2)求sinA+sinB的最大值

2已知向量a=(x,m),b=(1-x,x)，其中m∈R.若f(x)=a·b
(1)当m=3时解不等式f(x)＜x
(2)如果f(x)在(-2,∞)上单调递减，求实数m的取值范围

Answer 1

1、解：（1）由题得：a²+b²-c²=(4√3)/3·S
因为 S=(absinC)/2
所以 a²+b²-c²=(2√3absinC)/3
由余弦定理：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(√3/3)·sinC
sinC/cosC=√3 即：tanC=√3
所以，∠C=60°
所以，cosC=60°
（2） 由(1）得A+B=120°
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]《√3（即：根号3）
当且仅当A=B时，取等号
所以，sinA+sinB的最大值为：√3
2、 解：（1）f(x)=a·b=x(1-x)+mx=－x²+(m+1)x
当：m=3时， f(x)=－x²+4x<x
解不等式 x²-3x>0
所以，不等式f(x)＜x的解为：x<0 或 x>3
即：不等式f(x)＜x的解集为（－∞， 0）∪（3，+∞）
（2）f(x)=－x²+(m+1)x是开口向下，对称轴为：直线 x=(m+1)/2
要使f(x)在(-2,∞)上单调递减，必须 x=(m+1)/2《－2
所以， m《－5
所以实数m的取值范围为：（－∞， －5]
解毕！

Answer 2

1-（1）
a²+b²-c²=2abcosC
S=1/2ab*sinC
代入a²+b²-c²=(4√3)/3·S
所以得出(2√3)/3·sinC=2cosC, 推出cotC=√3，所以 C=60度

1-（2）
应该是√3
C=60°所以A+B=120°

sinA+sinB=sinA+sin(120°-A)=sinA+sin120°cosA-cos120°sinA=sinA+√3/2·cosA+1/2·sinA=3/2·sinA+√3/2·cosA=√3(√3/2·sinA+1/2·cosA)=√3sin(A+30°)

所以最大值是√3

2-（1）
f(x)=a·b=x(1-x)+mx=x-x²+3x=-x²+4x

-x²+4x<x
x²-3x>0
x（x-3）>0
x<0 或者 x> 3

2-(2)

f(x）=-x²+（1+m）x在(-2,∞)上单调递减，则图像对称轴x=（1+m)/2≤-2
推出m≤-5