Question

已知函数f(x)=[a/(1-2a)][a^x -a^(-x)]，(a>0且a≠0),是R上的增函数，求a的取值范围 要详细过程.

Answer 1

解：依题意得
设x1<x2,则f(x1)<f(x2),f(x1)-f(x2)<0
f(x1)-f(x2)=[a/(1-2a)][a^x1 -a^(-x1)]-[a/(1-2a)][a^x2 -a^(-x2)]
=[a/(1-2a)][a^x1-a^x2+a^(-x2)-a^(-x1)]
=[a/(1-2a)][a^x1-a^x2+(a^x1-a^x2)/a^x1*a^x2]
=[a/(1-2a)](a^x1-a^x2)[1+(1/a^x1*a^x2)]
<0
1+(1/a^x1*a^x2)>0
当a/(1-2a）>0时，0<a<1/2,x1<x2,则a^x1>a^x2,a^x1-a^x2>0
故f(x1)-f(x2)>0,与已知矛盾。
当a/(1-2a)<0时，即a<0或a>1/2,又因为a>0且a≠1
故，当1/2<a<1时，x1<x2,则a^x1>a^x2，a^x1-a^x2>0
满足f(x1)-f(x2)<0
当a>1时，x1<x2,则a^x1<a^x2，a^x1-a^x2<0
f(x1)-f(x2)>0,与已知矛盾。
综上所述，a的取值范围为1/2<a<1