Question

高中数学 之集合 （答案已给出，高手写一下分析过程和解答过程）

① 已知集合{1，2，3，······，100}的两个子集A,B满足：A与B的元素个数相同，A∩B为空集。若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为？ （答案 66） ②设集合A={x|(x-1)^2 ＜3x+7,x∈R}，则集合A∩Z中有—— 个元素？ （答案 ？ ） ③对于两个集合S1，S2，我们把一切有序实数对（x,y)所组成的集合（其中x∈S1，y∈S2），叫做S1和S2的笛卡尔积，记做S1×S2，如果S1={1，2}，S2={-1,0,1},则S1×S2的真子集的个数为——个。 （答案 63）

Answer 1

第一题，我们直接就考虑元素最多时候的情况，显然A中的元素都小于B，2N+2<=100,于是N<=49,又由题意可知，B中的元素全是偶数，所以从1到49的奇数显然全都是A的元素，于是有25个，剩下从2到48的24个偶数。假设N属于这24个偶数的集合，那么2N+2就不能和N共存于A中，于是考察一下，2<=n<=48并且2N+2<=48,可得N<=23，也即24以上的偶数都可以取，于是有13个数，
既然已经取了24到48的偶数，由2N+2<=24可知，12以上的偶数不能取，所以只能取2到10，又显然这5个偶数中，可以取2,4,10，于是到这里A中一共可以有41个数，
但是，我们显然要注意到，1到49中的某些奇数乘以2再加2也会得到一个24到48的偶数，那么那样的偶数或者奇数就不能共存于A中。 假定某个奇数N,24<=2N+2<=48,于是可得11<=N<=22,也即11到22以内的奇数或者其相应的2倍加2的偶数不能共存，于是11到22有6个奇数，又对于2,4,8.，显然不能取1和3，也即有8个奇数和对应的8个偶数不能共存，所以41-8=33，所以A中最多33个数，所以A和B一起当然就是66个数了。
哦，边想边写，似乎有点乱的样子，也许应该有更简便的想法才对，改天有空也许再修改下

第2题，x^2+1-2x<3x+7,可得x^2-5x-6<0,得(x-6)(x+1)<0,得-1<x<6,所以X可以取0,1,2,3,4,5，所以和Z的交集有6个元素。

3题，显然s1*s2一共有，6个实数对，即（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，-1）
即，有6个元素的集合有多少个真子集，
用一下组合，就可得到63个子集的结果。

高中数学，真的是好多年前的事情了，回忆··

Answer 2

1. A={1,3,5...25}, B={4,8,12,16...100}
⇒ A={n|n=2x-1,1≤2x-1≤100(1≤x≤50)}
B={2n+2|2n+2=4x,1≤4x≤100(1≤x≤25)}
∴A,B的最多个数分别为25,A∪B=50
但是 除了这些数以外还有 {2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98}总共24个数
在这个集合中我们又可以把A'={2,10,14,18,26,34,42,46}
B'={6,22,30,38,54,70,86,94}
∴A',B'又分别有8个数,A'∪B'=16
总共就有50＋16＝66个数了 （我不知道还有没有简便的方法算出后面的部分但是这个思路肯定没有大问题）

2. (x-1)^2<3x+7
⇒x^2-2x+1<3x+7
x^2-5x-6<0
(x-6)(x+1)<0
由穿针引线法得出－1<x<6又因为x≥0
所以符合条件的正整数只有0，1，2，3，4，5这6个数啦

3. S1×S2的所有元素为1×(-1), 1×0, 1×2, 2×(-1), 2×0, 2×1这6个，
只有1个元素的真子集就分别有｛1×(-1)}, {1×0}, {1×2}, {2×(-1)}, {2×0}, {2×1}这6个
有2个元素的真子集数就为6个里面任选2个C(2,6)=15
有3个元素的真子集数就为C(3,6)
以此类推就是C(1,6)+C(2,6)+C(3,6)+C(4,6)+C(5,6)+C(6,6)=6+15+20+15+6+1=63
关于这个选择问题（就是关于"C"的）不知道你学了没有这个应该是高一还是高二的时候讲的

这么幸苦的一个字一个字的打出来 希望你明白了这三道题～
：）

Answer 3

1.应该是按照除3的余数分类，具体还没有想好。
2.x={0,1,2,3,4,5} 所以是6个元素
3.S1*S2共有6个元素（3*2=6,乘法原理）
S1×S2的真子集的个数为2的6次方-1=64-1=63 这个算是集合的性质吧。