Question

数学分析题 裴礼文里的

【】里的那句话看不懂，谁能解释一下？
题目没给完，但括号里的话是相对独立的

Answer 1

哦，就是我刚才做的那道题？
明白了。

他不是说E是使得有意义的集合吗？也就是说 sin x>0, 对吧，于是解得，2kpi - (2k+1)Pi ，（在这两个奇点，sinx=0，无意义了）
于是他就直接写成原式等于那个求和式。

但是光这么写是不严谨的。他自己也注意到了，所以加了个附注，也就是括号里的内容。

为什么是不严谨的呢，因为我们实际上求的是lim t->0时 2kPi + t 到(2k+1)Pi - t 的积分，两个奇点是取不到的。
只有当我们说明这个在这个奇点处积分收敛，不发散，我们才能省略掉这个极限。

那么这时候目测就行了，你看这个式子，在趋向奇点的时候，e那项，还有分子那项sin - cos的都可以不看，和极限没关系。
设t是极小量，在趋向奇点的时候，分母是趋向于 根号下sin t，由于我们知道当lim t->0时， sin t -> t
也就是说，sin t在很t很小时候差不多就是t，那么根号下sin t就是根号t

如果说1/t 算是无穷大，那么1/根号t 就是一个1/2阶的无穷大，也就是说这个无穷大不够大，不够大到使他发散，只有无穷大的阶数超过1，才会发散，因为积分式最后还要乘以那个极小量 dt 呢，一个1/2阶的无穷大拼不过dt，乘出来最后还是0。所以我们目测判断是收敛的。

严格证明就是求证：lim t->0, t/根号sint ->0，很容易吧。