Question

X^2+Y^2+2X-4Y+1=0关与直线2aX-bY+2=0（a>0,b>0)对称，则4/a+1/b的最小值是多少

带详细解说，谢谢了

Answer 1

(x+1)²+(y-2)²=4
圆心(-1,2)
对称则直线是直径，过圆心
-2a-2b+2=0
a+b=1

a>0,b>0
则4/a+1/b
=(4/a+1/b)(a+b)
=4+4b/a+a/b+1
=5+(4b/a+a/b)≥5+2√(4b/a*a/b)=5+4=9
所以最小值=9

Answer 2

X^2+Y^2+2X-4Y+1=0得(X+1)^2+(Y-2)^2=4,表示的是一个圆心在（-1,2）的圆。圆关于直线对称，显然这条直线过圆心。所以2a*（-1）-b*2+2=0。所以a+b=1。
从而4/a+1/b=(4/a+1/b)*(a+b)>=(2+1)^2=9.即最小值为9，此时a=2/3,b=1/3。