Question

如图，已知点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于H。

设AD与BE相交于M，连接CM，求证：CM平分角BMD

Answer 1

已知，△ABC和△CDE都是等边三角形，
则有：∠ACD = 180°-∠ACB = 120°= 180°-∠BCE = ∠BCE 。

在△ACD和△BCE中，AC = BC ，∠ACD = ∠BCE ，CD = CE ，
所以，△ACD ≌ △BCE ，
可得：∠ADC = ∠BEC ，∠CAD = ∠CBE ，
即：∠MDC = ∠MEC ，∠MAC = ∠MBC 。

由∠MDC = ∠MEC ，可得：M、C、D、E四点共圆，
则有：∠CMD = ∠CED = 60°；
由∠MAC = ∠MBC ，可得：M、A、B、C四点共圆，
则有：∠BMC = ∠BAC = 60°；

所以，∠BMC = ∠CMD ，即：CM平分∠BMD 。