Question

例1．已知：如图，AD是 ABC的中线，DE、DF分别平分∠ADB，∠ADC，连结EF，求证：EF＜BE＋CF．

Answer 1

过B点作BG平行AC交FD延长线于G,连接GF

因BG平行AC，则BD/CD=BG/CF=DG/DF

又因D是BC中点即BD=DC，则BG=CF,DG=DF

因DE、DF分别平分∠ADB，∠ADC,∠ADB+ADC=180度

则∠EDF=∠EDA+∠ADf=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2=180/2=90度

则∠EDG=180-∠EDF=180-90=90度

又DE为共边，DG=DF

则三角形EDG与EDF全等

则EG=EF

因EG=EF,BG=CF，EG<BE+BG（三角形两边之和大于第三边)

所以EF<BE+CF

基本定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

Answer 2

解：延长ED到G，使DG=DE，连接FG、CG.

DE、DF分别平分∠ADB，∠ADC，有DF⊥EG，又DG=DE，所以EF=FG.

在△BDE和△CDG中，BD=CD,ED=GD,∠BDE=∠CDG，那么△BDE≌△CDG，

于是BE=CG。

在△CFG中，CF+CG＞FG，即CF+BE＞EF.

Answer 3

过B点作BG平行AC交FD延长线于G,连接GF
因BG平行AC，则BD/CD=BG/CF=DG/DF
又因D是BC中点即BD=DC，则BG=CF,DG=DF
因DE、DF分别平分∠ADB，∠ADC,∠ADB+ADC=180度
则∠EDF=∠EDA+∠ADf=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2=180/2=90度
则∠EDG=180-∠EDF=180-90=90度
又DE为共边，DG=DF
则三角形EDG与EDF全等
则EG=EF
因EG=EF,BG=CF，EG<BE+BG（三角形两边之和大于第三边)
所以EF<BE+CF