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二、填空题
1、（2008山西太原）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为 。
2、（2008湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个"赵爽弦图"（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么= 。
3、（2008江苏盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ．
4、（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．
无答案
5、（2008佛山）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．
6、（2008佳木斯市）下列各图中， 不是正方体的展开图（填序号）
7、(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 ．
8、（2008年陕西省）如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 ．
9、（2008年陕西省）如图，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ．
10、（2008年山东省青岛市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝4cm，则AC的长为________cm．
11、（2008四川凉山州）菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．
12、（08海南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AE‖DC，AB=6cm，则AE= cm.
13、(2008 青海)已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm；等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是 cm．
14、（2008 山东 临沂）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC
于点E、F，连接CE，则CE的长________.
15、（2008齐齐哈尔）如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 ．
16、（2008江苏镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
17、 (2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 。
18、（2008四川凉山州）菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．
19、（2008江苏盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ．
20、（2008山西太原）在梯形ABCD中，，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为 。
四、答案
一、选择题
1、5
2、0.6
3、平行四边形（或矩形或菱形）
4、（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．
5、22.5
6、③
7、（结果保留根号的形式）．
8、
9、
10、8cm
11、8
12、6
13、；4
14、
15、
16、
17、 2或
18、8
19、6
20、15；
21、5
22、90°
23、6
24、答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．
25、 1
26、①②③④
27、
28、
29、10㎝2
30、9
31、20
32、48
33、矩形
34、
35、60
三、解答题
1、解：（1）BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°）
∴△BCG≌△DCE
∴BG=DE
（2）存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
2、证明：在正方形ABCD中，取AB=2
∵N为BC的中点，
∴NC=
在中，
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=,
,
故矩形DCEF为黄金矩形。
3、解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD，
∵ DE‖AC，DF‖BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形，
又∵ 点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ □DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE‖AC，DF‖BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
4、（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。
由∠D=900 ，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB平分∠AEC。
（2）①∵CE‖BF，∴== ∴BF=2CE。
∵AB=2CE，∴点B平分线段AF
②能
证明：∵CP=，CE=1，∠C=900 ，∴EP=。
在Rt △ADE中，AE= =2，∴AE=BF，
又∵PB=，∴PB=PE
∵∠AEP=∠BP=900 ，∴△PAS≌△PFB。
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。
旋转度数为1200
5、（1）四边形BECF是菱形。·
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形
证明：∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45。
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形
6、（1）证明：四边形是矩形，
（矩形的对角线互相平分），
（矩形的对边平行）．
，．
（A．A．S）．
（2）当时，四边形是菱形．
证明：四边形是矩形，
（矩形的对角线互相平分）．
又由（1）得，
，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的
四边形是平行四边形）
又，
四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四
边形是菱形）．
7、（1）证明：∵AE‖BD, ∴∠E＝∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC
又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10
8、解：解：当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是．
（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）
9、证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵ 在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=90°，
∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°．
∴四边形AFCD是矩形．
AD=CF, BF=AB-AF=1．
在Rt△BCF中，
CF2=BC2-BF2=8，
∴ CF=．
∴ AD=CF=．
∵ E是AD中点，
∴ DE=AE=AD=．
在Rt△ABE和 Rt△DEC中，
EB2=AE2+AB2=6，
EC2= DE2+CD2=3，
EB2+ EC2=9=BC2．
∴ ∠CEB＝90°．
∴ EB⊥EC．
10、（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ..................2分
∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE. ..................4分
（2）答：四边形E′BGD是平行四边形
理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB‖CD，
∴BE′＝DG，BE′‖DG，..................6分
∴四边形E′BGD是平行四边形 ..................8分
11、解法一：矩形中，，，
．
，，．
．
解法二：矩形中，．
，，．
12、（1），即，又，四边形是平行四边形．
平分，，
又，，，，
四边形是菱形．
（2）证法一：是中点，．
又，，，
，）
，．
即，是直角三角形．）
证法二：连，则，且平分，
设交于．
是的中点，．
，是直角三角形． （7分）
13、解：（1）36；（2）秒；
（3）当三点构成直角三角形时，有两种情况：
①当时，设点离开点秒，
作于，．
，，．
当时，点离开点秒．
②当时，设点离开点秒，
，．
．
．．．
当时，点离开点秒．
由①②知，当三点构成直角三角形时，点离开点秒或秒．
14、证明：（1），，．
由沿折叠后与重合，知，．
四边形是矩形，且邻边相等．
四边形是正方形．
（2），且，四边形是梯形．
四边形是正方形，，．
又点为的中点，．连接．
在与中，，，，
，．
，，四边形是平行四边形．
．．．
四边形是等腰梯形．
注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证
15、解（1）证明： ∵CE平分，∴，
又∵MN‖BC，∴，∴，∴．
同理，．∴ ．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
∵，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形.
又∵，．∴，即．∴四边形AECF是矩形．
16、（1）解法一：如图25-1
过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=.
在Rt△ADE中，AD=.
解法二：如图25-2
过点A作AE‖BC交CD于点E，则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 .
（2）解：如图25-1
∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h
=(9－x)·x·sin60°
=(9x－x2)
=－(x－)2＋.
由题意，知0≤x≤5 .
当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM‖DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP‖QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.
证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ‖BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=
17、（1）证明：，
．
是的中点，
．
又，
．
．）
，
．
即是的中点．
（2）解：四边形是矩形，
证明：，，
四边形是平行四边形．
，是的中点，
．
即．
四边形是矩形．
18、 (1）添加条件：BE=DF或∠BAE=∠DAF 或∠BAF=∠DAE等
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∠B =∠D
在△ABE和ADF中
AB=AD
∠B =∠D
BE=DF
∴△ABE≌ADF
∴AE=AF
19、解:（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点
∴AE=CF
在和中，
．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：，
是，且是斜边（或）
是的中点，
．
由题意可知且，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
20、解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900
又∵DF⊥DE，
∴∠1+∠3=∠2+∠3
∴∠1=∠2
在Rt△DAE和Rt△DCE中，
∠1=∠2
AD=CD
∠A=∠DCF
∴Rt△DAERt△DCE
∴DE=DF．
21、解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ‖BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=PE ∴PE=PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ
（2）解：由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时（如图1）
过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x
由（1）得PD=BE-PQ=4-x
∴y=PD·QH=
当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H' ∴QH'=x
过点E作EM'⊥PQ于点M' 同理可得EP=EQ=PQ ∴BE=PQ-PD
∴PD=x-4 y=PD·QH'=
（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=
∴PC==4 ∴cos∠DPC== ∴∠DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ‖BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1
QC== ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF...............1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC
∴ ∴PG==
22、 解：当cm时，的面积是；当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是．（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）
23、（1）证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
（2）证明：四边形为平行四边形，
．
．
（3）四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
24、（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
1、（2008山西太原）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为 。
2、（2008湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个"赵爽弦图"（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么= 。
3、（2008江苏盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ．
4、（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．
无答案
5、（2008佛山）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．
6、（2008佳木斯市）下列各图中， 不是正方体的展开图（填序号）
7、(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 ．
8、（2008年陕西省）如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 ．
9、（2008年陕西省）如图，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ．
10、（2008年山东省青岛市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝4cm，则AC的长为________cm．
11、（2008四川凉山州）菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．
12、（08海南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AE‖DC，AB=6cm，则AE= cm.
13、(2008 青海)已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm；等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是 cm．
14、（2008 山东 临沂）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC
于点E、F，连接CE，则CE的长________.
15、（2008齐齐哈尔）如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 ．
16、（2008江苏镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
17、 (2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 。
18、（2008四川凉山州）菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．
19、（2008江苏盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ．
20、（2008山西太原）在梯形ABCD中，，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为 。
四、答案
一、选择题
1、5
2、0.6
3、平行四边形（或矩形或菱形）
4、（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．
5、22.5
6、③
7、（结果保留根号的形式）．
8、
9、
10、8cm
11、8
12、6
13、；4
14、
15、
16、
17、 2或
18、8
19、6
20、15；
21、5
22、90°
23、6
24、答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．
25、 1
26、①②③④
27、
28、
29、10㎝2
30、9
31、20
32、48
33、矩形
34、
35、60
三、解答题
1、解：（1）BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°）
∴△BCG≌△DCE
∴BG=DE
（2）存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
2、证明：在正方形ABCD中，取AB=2
∵N为BC的中点，
∴NC=
在中，
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=,
,
故矩形DCEF为黄金矩形。
3、解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD，
∵ DE‖AC，DF‖BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形，
又∵ 点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ □DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE‖AC，DF‖BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
4、（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。
由∠D=900 ，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB平分∠AEC。
（2）①∵CE‖BF，∴== ∴BF=2CE。
∵AB=2CE，∴点B平分线段AF
②能
证明：∵CP=，CE=1，∠C=900 ，∴EP=。
在Rt △ADE中，AE= =2，∴AE=BF，
又∵PB=，∴PB=PE
∵∠AEP=∠BP=900 ，∴△PAS≌△PFB。
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。
旋转度数为1200
5、（1）四边形BECF是菱形。·
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形
证明：∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45。
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形
6、（1）证明：四边形是矩形，
（矩形的对角线互相平分），
（矩形的对边平行）．
，．
（A．A．S）．
（2）当时，四边形是菱形．
证明：四边形是矩形，
（矩形的对角线互相平分）．
又由（1）得，
，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的
四边形是平行四边形）
又，
四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四
边形是菱形）．
7、（1）证明：∵AE‖BD, ∴∠E＝∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC
又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10
8、解：解：当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是．
（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）
9、证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵ 在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=90°，
∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°．
∴四边形AFCD是矩形．
AD=CF, BF=AB-AF=1．
在Rt△BCF中，
CF2=BC2-BF2=8，
∴ CF=．
∴ AD=CF=．
∵ E是AD中点，
∴ DE=AE=AD=．
在Rt△ABE和 Rt△DEC中，
EB2=AE2+AB2=6，
EC2= DE2+CD2=3，
EB2+ EC2=9=BC2．
∴ ∠CEB＝90°．
∴ EB⊥EC．
10、（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ..................2分
∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE. ..................4分
（2）答：四边形E′BGD是平行四边形
理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB‖CD，
∴BE′＝DG，BE′‖DG，..................6分
∴四边形E′BGD是平行四边形 ..................8分
11、解法一：矩形中，，，
．
，，．
．
解法二：矩形中，．
，，．
12、（1），即，又，四边形是平行四边形．
平分，，
又，，，，
四边形是菱形．
（2）证法一：是中点，．
又，，，
，）
，．
即，是直角三角形．）
证法二：连，则，且平分，
设交于．
是的中点，．
，是直角三角形． （7分）
13、解：（1）36；（2）秒；
（3）当三点构成直角三角形时，有两种情况：
①当时，设点离开点秒，
作于，．
，，．
当时，点离开点秒．
②当时，设点离开点秒，
，．
．
．．．
当时，点离开点秒．
由①②知，当三点构成直角三角形时，点离开点秒或秒．
14、证明：（1），，．
由沿折叠后与重合，知，．
四边形是矩形，且邻边相等．
四边形是正方形．
（2），且，四边形是梯形．
四边形是正方形，，．
又点为的中点，．连接．
在与中，，，，
，．
，，四边形是平行四边形．
．．．
四边形是等腰梯形．
注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证
15、解（1）证明： ∵CE平分，∴，
又∵MN‖BC，∴，∴，∴．
同理，．∴ ．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
∵，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形.
又∵，．∴，即．∴四边形AECF是矩形．
16、（1）解法一：如图25-1
过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=.
在Rt△ADE中，AD=.
解法二：如图25-2
过点A作AE‖BC交CD于点E，则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 .
（2）解：如图25-1
∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h
=(9－x)·x·sin60°
=(9x－x2)
=－(x－)2＋.
由题意，知0≤x≤5 .
当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM‖DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP‖QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.
证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ‖BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=
17、（1）证明：，
．
是的中点，
．
又，
．
．）
，
．
即是的中点．
（2）解：四边形是矩形，
证明：，，
四边形是平行四边形．
，是的中点，
．
即．
四边形是矩形．
18、 (1）添加条件：BE=DF或∠BAE=∠DAF 或∠BAF=∠DAE等
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∠B =∠D
在△ABE和ADF中
AB=AD
∠B =∠D
BE=DF
∴△ABE≌ADF
∴AE=AF
19、解:（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点
∴AE=CF
在和中，
．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：，
是，且是斜边（或）
是的中点，
．
由题意可知且，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
20、解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900
又∵DF⊥DE，
∴∠1+∠3=∠2+∠3
∴∠1=∠2
在Rt△DAE和Rt△DCE中，
∠1=∠2
AD=CD
∠A=∠DCF
∴Rt△DAERt△DCE
∴DE=DF．
21、解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ‖BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=PE ∴PE=PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ
（2）解：由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时（如图1）
过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x
由（1）得PD=BE-PQ=4-x
∴y=PD·QH=
当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H' ∴QH'=x
过点E作EM'⊥PQ于点M' 同理可得EP=EQ=PQ ∴BE=PQ-PD
∴PD=x-4 y=PD·QH'=
（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=
∴PC==4 ∴cos∠DPC== ∴∠DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ‖BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1
QC== ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF...............1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC
∴ ∴PG==
22、 解：当cm时，的面积是；当cm时，的面积是；
当cm时，的面积是．（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）
23、（1）证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
（2）证明：四边形为平行四边形，
．
．
（3）四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
24、（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
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