Question

已知f（x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f（1）=1，若a,b属于[-1,1],a+b不等于零，有{f(a)+f(b)}/(a+b)>0成

（1）判断函数f(x)在[-1,1]是增函数还是减函数，并证明你的结论。
（2）解不等式f(x+1/2)<f{1/(x-1)}
(3)若f(x)<=m2-2am+1对所有x属于[-1,1],a属于[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解(1) f(x)在[-1,1]上是增函数
任取 [-1,1] 上的 x1, x2，且 x1 < x2
则 [f(x1) + f(-x2)]/(x1 - x2) > 0
即 [f(x1) - f(x2)]/(x1 - x2) > 0
因为 x1 < x2
所以 f(x1) < f(x2)
结论得证
(2) 因为 f(x+1/2)<f(1/(x-1))
由上题的结论可得
x+1/2<1/(x-1)
因为 x 在 [-1,1]上 ，这里的 x 在 [-1,1)
所以 x - 1 < 0
即 不等式 变化 得 x^2 + x/2 - x - 1/2 > 1
化简 得 (2x - 3)(x + 1) > 0
解 得 x < -1 , x > 3/2
综上所述 无解
(3) f(x) < f(1) = 1
所以 1 <= m^2 - 2am + 1
化简 0 <= m^2 - 2am
即 0 <= m(m - 2a)
当 a 在 [-1,0] 时 m <= 2a 或 m => 0
当 a 在 [0,1] 时 m => 2a 或 m <= 0

Answer 2

[1】 设X1>X2,则X1-X2>0
f（X1）-f（X2）=f（X1）+f（-X2）
因为【f（X1）+f（-X2）】/（X1-X2）》0且X1-X2>0
所以f（X1）+f（-X2）》0
即f（X1）-f（X2）》0
所以f（x)是增函数