Question

高等数学上册，练习题

证明恒等式：arcsinx+arccosx=0.5π（-1≤x≤1）
高等数学我都晕死了，高人帮下忙谢谢

Answer 1

首先：sin(arcsinx)=x
∵ -π/2<=arcsinx<=π/2,∴ cos(arcsinx)=√(1-x²)
(如果对没有证明区间限制条件，根号前应是±号)
同理 cos(arccosx)=x
∵ 0<=arccosx<=π,∴ sin(arccosx)=√(1-x²)
为书写方便，令arcsinx=a,arccosx=b
则 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
=x·x+[√(1-x²)][√(1-x²)]
=1
而 0+(-π/2)<=a+b<=π/2+π
即 -π/2<=a+b<=3π/2
而在此区间内正弦值等于1的角只有一个，就是π/2
∴ a+b=π/2
即 arcsinx+arccosx=π/2

Answer 2

设arcsinx=u，则有sinu=x
设arccosx=v，则有cosv=x
所以:sinu=cosv
我知道sinu=cos(0.5π-u)
考虑到反三角函数的定义域、值域
所以0.5π-u=v
即得到：u+v=0.5π
于是得到：arcsinx+arccosx=0.5π

Answer 3

由题可令sinA=x sinB=x
因为sinA=sinB
所以A+B=0.5π
则arcsinx+arccosx=A+B=0.5π

Answer 4

（arcsinx+arccosx）的倒数为0，得（arcsinx+arccosx）为常数，当x=0时，arcsin0+arccos0=π/2
arcsinx+arccosx=arcsin0+arccos0=π/2

Answer 5

对左边求导，得到恒等于0，那么左式应该等于一个常数C，使用X=0或者X=1代入就可算出C=0.5π
于是上式恒成立

Answer 6

(arcsinx+arccosx)'=1/(1-x^2)-1/(1-x^2)=0 所以arcsinx+arccosx为恒常数，将0带入arcsinx+arccosx得0.5π 所以arcsinx+arccosx=0.5π