Question

1+2的平方+3的三次方+4的四次方+………………+2009的2009次方的个位数 在线等，求救

Answer 1

考察a^b，
①a^b其个位数字等价于(a的个位数)^b
即a^b与mod(a,10)^b关于10同余
②a^b的个位数字等价于a^(b除以4的余数)
即a^b与a^mod(b,4)关于10同余
证明就是穷举(但这在组合数学里本身就是条常识/结论)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n^2 1 4 9 6 5 6 9 4 1
n^3 1 8 7 4 5 6 3 2 9
n^4 1 6 1 6 5 6 1 6 1
n^5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n^6 1 4 9 6 5 6 9 4 1
n^7 1 8 7 4 5 6 3 2 9
n^8 1 6 1 6 5 6 1 6 1
上面竖着看，就是以4为周期的
③结合上面①②
a^b与mod(a,10)^mod(b,4)同余
①的周期是10，②的周期是4
10和4的最小公倍数是20
也就是说，1^1、2^2、3^3^.。。。至多是以20为周期进行循环的(事实就是20)
也就是说，你只要算20项就行了
为了啥啥啥，我列出来：
1 4 7 1 5 6 3 1 9 0 1 1 3 6 5 1 7 4 9 1
周期数列的求和就不用说了吧
答案的确是7

Answer 2

7
怎么求到的，用程序测出来的。
具体怎么算的，还不晓得。