Question

求解高中数学不等式问题

本人高一预习后面课程，题很简单：
一：x>0,y>0,(1/x)+(9/y)=1,求x+y最小值
二：对任意正数x，y,有x+2y=1，求,(1/x)+(1/y)最小值.

Answer 1

一 、看到(1/x)+(9/y)=1让我想起了 (sinx)^2+(cosx)^2=1
所以不妨设 1/x=(sina)^2 9/y=(cosa)^2
且a在（0，pi/2)上
x+y=1/(sina)^2+9/(cosa)^2=1+(cota)^2+9+9(tana)^2
=10+9(tana)^2+1/(tana)^2
=10+(3tana-1/tana)^2+6
=16+(3tana-1/tana)^2
所以 最小值为16
二、方法同上
最小值为 3+2根号2
总结：对于类似的 （ax)+(by)=c 求关于x,y的式子的最值问题
都可以 把它转化为三角函数来计算
x=c*(sint)^2/a y=c(cost)^2/b
然后代入式子，把两个未知数x,y变成一个未知数t
然后根据三角函数的一些性质来判断

Answer 2

[(1/x)+(1/y)]*(x+2y)=1+2+x/y+2y/x≥3+2根号下2

Answer 3

—： (X+Y)(1/X+9/Y)=10+Y/X+9X/Y 大于等于10+6=16