Question

如图，AB为⊙O的直径，C为弧AB的中点，D为弧AB上异于点C的一点 求证：AC＋BC＞AD＋BD

如图，AB为⊙O的直径，C为弧AB的中点，D为弧AB上异于点C的一点
求证：AC＋BC＞AD＋BD

Answer 1

用代数法比较简单。
∵（a-b）2≥0
∴a2+b2≥2ab
设AD=a，BD=b，AB=c，AC=d。
则有a2+b2=c2, 2d2=c2.
(a+b)2=a2+2ab+b2≤a2+b2+（a2+b2）=2（a2+b2）=4c2
∴a+b≤2c 当且仅当a=b=c时取等。由题知，a!=c
∴a+b<2c
即AD+BD≤AC+BC

Answer 2

方法一：因为AB为直径，故∠ACB=∠ADB=90°，所以AC^2+BC^2=AD^2+BD^2=d^2。
我们设a^2+b^2=d^2
由不等式知(a+b)^2≤2*(a^2+b^2)=2d^2
当a=b时，取等号，即AC＋BC=sqrt(2)*d(可由等腰直角三角形得出)；（sqrt(2)即根号二）
当a≠b时，取小于号，即AD＋BD＜sqrt(2)*d；
所以AC＋BC＞AD＋BD 。

主要是均值不等式的运用啦~

方法二：
AC＋BC=2*d*sin45°=√2*d（根号符号上没有横，看着好别扭），
设∠ABC=θ，则∠BAC=90°-θ，其中θ≠45°且0°＜θ＜90°
所以AD＋BD=d*(sinθ+sin(90°-θ))=d*(sinθ+cosθ)
=d*√2*sin(θ+45°)
因为θ≠45°，所以sin（θ+45°)＜1
故AD＋BD＜√2*d=AC＋BC

主要运用三角函数的转化

Answer 3

设弧AB上任意点为E，角EAB为t.角AEB为直角。
AE=AB*cost
BE=AB*sint
AE+BE=AB（cost + sint) 0≤t≤∏/2
=根号2倍ABsin（t+∏/4)
显然，当t=∏/4时，AE+BE取最大值。即弧AB的中点C。
所以，对为弧AB上异于点C的任一点D有：
AC＋BC＞AD＋BD
即得证。