Question

一道简单的积分计算题

用定义计算∫e^x(dx)(x下界为a，上界为b)答案是e^b-e^a 求过程或思路，注意是用定义计算，不要用积分性质解，谢谢高人了！

Answer 1

那就做等距分割，令l=b-a

把[a,b]做n等分，分点是xi=a + il/n
其中 i=1，2，....n

那么每个小矩形面积是
Mi=f(xi)* l/n = e^(a+il/n)l/n
下面的∑的下限是i=1，上限是i=n
∑Mi = ∑e^(a+il/n)l/n
=le^a/n * ∑e^(il/n)

注意，∑后面是一个公比为e^(l/n)等比数列求和
所以继续

=le^a/n * e^(l/n)(1-e^l)/(1-e^(l/n))
令n→∞，注意到1-e^(l/n)与-l/n是等价无穷小有
那极限 = -le^a(1-e^l)/l = -e^a(1-e^l)
=-e^a+e^(l+a)
=e^(b-a+a)-e^a
=e^b-e^a

证毕