Question

函数极限问题

若对于f(x)，在x趋于x[0]处没有极限，对于g(x)，在x趋于x[0]处极限为a(a不等于0)。
能否证明h(x)=f(x)*g(x)在x趋于x[0]处没有极限。

Answer 1

此中说法正确
证明：假设lim h(x)=b,x→x0
∴lim h(x)x→x0+ = lim h(x)x→x0- =b
又lim h(x)x→x0+ = lim f(x)x→x0+ * lim g(x)x→x0+
∴lim f(x)x→x0+ =b/a
同理lim h(x)x→x0- = lim f(x)x→x0- * lim g(x)x→x0-
∴lim f(x)x→x0- =b/a
又a≠0，所以lim f(x)x→x0+ = lim f(x)x→x0-
故f(x)在x趋于x[0]的极限存在且为b/a
与已知矛盾，故假设不成立

Answer 2

不能。比如f（x）=1/x，g(x)=x^2,x(0)=0,相乘以后在x=0附近就有极限。