Question

在一条线段上有四个点,怎么样找一点使这点到另外四点的距离和最小

Answer 1

把这四个点分成两组，两个点一组。先找每一组的中点这两个组有两个中点，最后找这两个点的中点就可以了

Answer 2

从右向左，将这四个点分别标定为：A，B，C，D
假设要找的点为P

如果P在线段AD以外（包括在A或D点上），则：
AP+DP>=AD, BP+CP>BC
AD+BC<AP+BP+CP+DP

如果P在线段AD以内，但在线段BC以外，则：
AP+DP=AD， BP+CP>BC
AD+BC<AP+BP+CP+DP

如果P在线段BC以内（包括在B或C点上），则：
AP+DP=AD, BP+CP=BC
AD+BC=AP+BP+CP+DP

所以：要找的点P就是线段BC上的任意一点，包括B或C点

Answer 3

设四个点坐标a<b<c<d 点x到另四点的距离和D(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|
折线函数在区间[b,c]图形是平行x轴的水平线段 => b<=x<=c时D(x)最小值
=>找b,c之间任一点即可

Answer 4

从右向左，将这四个点分别标定为:A，B，C，D
假设要找的点为P
如果P在线段AD以外(包括在A或D点上)，则:
AP+DP>=AD,
BP+CP>BC
AD+BC<AP+BP+CP+DP
如果P在线段AD以内，但在线段BC以外，则:
AP+DP=AD，
BP+CP>BC
AD+BC<AP+BP+CP+DP
如果P在线段BC以内(包括在B或C点上)，则:
AP+DP=AD,
BP+CP=BC
AD+BC=AP+BP+CP+DP
所以:要找的点P就是线段BC上的任意一点，包括B或C点

Answer 5

假设ABCD四点在X轴上，且它们的坐标分别为：abcd,a<b<c<d
分类讨论当这一点在A左边、AB之间、BC之间、CD之间、D右边的情况，列出各自的距离之和的多项式，比较大小即可证明：为位于BC两点之间的点与四点距离之和最小。
求2或3个点或多个点的情况也可如此