Question

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)， 且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式；

Answer 1

解答
首先要知道对于函数，若f(a+x)=f(a-x)说明：f(x)存在对称轴：x=a

针对此题，有：f(-2+x)=f(-2-x)则存在对称轴x=-2 故解析式可写作： f(x)=A(x+2)^2+C

有因为y轴截距为1，即 x=0 是 y=1 由此可得 c=-3

所以，f(x)=Ax^2+4Ax+4A-3

且 被x轴截取的线段长2倍根号2，设f(x)=0的根为x1,x2 则x1-x2=2倍根号2

由韦达定理 x1+x2=-b/a=-4
x1*x2=c/a=(4A-3)/A=4-3/A

那么（x1-x2）^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=16-4(4-3/A)=12/A=2倍根号2的平方=8

故A=3/2
最终答案 f(x)=3/2(x+2)^2-3=3/2x^2+6*x-3

Answer 2

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