Question

已知函数fx=lg(x+ a/x -2)其中a是大于1的常数

1.求fx的定义域
2.当a属于（1，4）时求函数fx在[2,正无穷）上的最小值
3.若对任意x属于[2,正无穷），恒有fx大于0试确定a的取值范围

Answer 1

1. x+a/x-2>0 又a>1,所以x>0,
于是x^2-2x+a>0 即（x-1)^2+a-1>0这个式子恒成立，
故f(x)的定义域为（0，正无穷）
2.f(x)=lgx在（0，正无穷）上单调递增，令g(x)=x+a/x-2
所以f(x)=lg[g(x)]最小值在g(x)取最小值时取得。
g(x)=x+a/x-2在[根号a,正无穷）上单调递增
根号a<(1,2),
所以f(x)在x=2时取得最小值lg(a/2)

3.f(x)>0,则x+a/x-2>1恒成立
即x^2-3x+a>0
令h(x)=x^2-3x+a=(x-3/2)^2+a-9/4
x属于[2,正无穷），则h(x)最小值为h(2)=a-2>0
a的取值范围为 a>2