Question

已知F1F2为椭圆x²/9+y²/4=1的两个焦点,点P在椭圆上,如果三角形PF1F2为直角三角形,求点P坐标

Answer 1

解：c^2=a^2-b^2=5,c=√5,设P坐标为（x,y)
（1）当∠PF2F1=90,P坐标为（√5,y)
|PF2|^2+|F1F2|^2=|PF1|^2,PF1+PF2=6
得(6-|PF1|)^2+20=|PF1|^2
得：|PF1|=14/3
即：20+y^2=196/9
得：y=±4/3,x=√5
(2)当∠PF2F1=90,P坐标为（-√5,y)，根据对称性得：y=±4/3,x=-√5
（3）当∠F1PF2=90，P(x,y)
|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2,PF1+PF2=6
解得：|PF1|=2或4
即(x+√5)^2+y^2=4或16
又PF1⊥PF2
(y+√5)/x*(y-√5)/x=-1
联解得：x=-3√5/5或3√5/5
y=±4√5/5
综上，满足条件的点P有8个，分别为（√5，4/3），（-√5，4/3），
（√5，-4/3），（-√5，-4/3），（3√5/5，4√5/5），
（3√5/5，-4√5/5），
（-3√5/5，4√5/5），（-3√5/5，-4√5/5）

Answer 2

直角三角形里，直角到斜边中点的中线=1/2直角边，如果直角顶点在椭圆，其它两个角是焦点，那么这个中线长度就是焦距的1/2，你画个图就蛮清楚。
所以x2+y2=c2=a2-b2=5 联立椭圆方程不难解出 4个点（正负3/根号5, 正负4/根号5）