Question

高数题 请人解下 谢谢啦！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

lim((a^x+b^x)/2)^1/x 请高手解下 谢谢..................................................................
x→∞

Answer 1

记： [(a^x-1)+(b^x-1)]/2 = t （ x->0 时， t->0 )
lim(x->∞) t/x
=lim(x->∞) {[(a^x-1)+(b^x-1)]/2}/x
= 1/2* lim(x->∞) [(a^x-1)/x + (b^x-1)/x]
= 1/2 * [lna + lnb]
= 1/2 * lnab

lim(x->∞) ((a^x+b^x)/2)^1/x

=lim(x->∞) { 1+[(a^x-1)+(b^x-1)]/2 } ^1/x

=lim(x->∞) { 1+t } ^(1/t)}*(t/x)

= e^{ 1/2*lnab }

= √ab