Question

已知定义域为R的函数f(x)=b-2^x/a+2^x是奇函数,

已知定义域为R的函数f(x)=b-2^x/a+2^x是奇函数,
(1))求a,b值
(2)证明函数f(x)在R上是减函数
(3)解关于x的不等式:f(2^x-1)+f(2^x+1/2)<0

Answer 1

(1)f(x)=(b-2^x)/(a+2^x)是R上奇函数
f(0)=(b-1)/(a+1)=0
b=1
f(x)=(1-2^x)/(a+2^x)
f(-x)=(1-2^(-x))/(a+2^(-x))
=(2^x-1)/(a*2^x+1)
f(x)=-f(-x)
(1-2^x)/(a+2^x)=-(2^x-1)/(a*2^x+1)
a+2^x= a*2^x+1,
(a-1)(1-2^x)=0,a=1.
(2)将f(x)变形，可以得到f（x)= (-1-2^x+2)/(1+2^x)=-1+2/(2^x+1)
任意的实数x1<x2
则f(x1）-f(x2)=2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)=2(2^x2-2^x1)/[（2^x1+1)( 2^x2+1）]>0
所以f(x1）>f(x2)
因此f（x）在R上是减函数
(3) f(2^x-1)+f(2^x+1/2)<0
f(2^x-1)<- f(2^x+1/2)
f(2^x-1) < f(-2^x-1/2)(因为函数是奇函数)
2^x-1>-2^x-1/2(因为函数在R上是减函数)
2^x>1/4, x>-2.