Question

等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且q＞0,q≠1. (1) 若a1=qm,m∈Z,且m≥-1,求证：数列{an}中任意不同的两

等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且q＞0,q≠1.
(1) 若a1=q^m,m∈Z,且m≥-1,求证：数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项；
(2) 若数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项，求证：存在整数m,且m≥-1,使得a1=q^m.

Answer 1

证：
（1）an=a1*q^(n-1)
若a1=q^m,an=q^(n+m-1)
设ai,aj为{an}任意不同的二项，i≠j∈N
ai=q^(i+m-1);aj=q^(j+m-1);
ai·aj＝q^(2m+i+j-2)＝q^[(i+j+m-1)+m-1]＝a(i+j+m-1)
由于i≠j∈N，故i+j≥3
i+j+m-1≥2+m≥1
∴(i+j+m-1)∈N
a(i+j+m-1)仍为{an}的一项！

（2）an=a1*q^(n-1)
设ai,aj为{an}任意不同的二项，即i≠j∈N
ai=a1·q^(i-1);aj=a1·q^(j-1);
ai·aj＝(a1)^2·q^(i+j-2)

要使ai·aj仍为数列{an}中的项，则必有：
(a1)^2·q^(i+j-2)＝a1*q^(n-1)
a1·q^(i+j-n-1)＝1
要使上式成立，只要使a1=q^(n+1-i-j)即可！
令n+1-i-j＝m

由于i≠j∈N，故i+j≥3,
i+j-2≥1
即(i+j-2)∈N，故必存在n≥(i+j-2)∈N成立，
即：m≥(i+j-2)+1-i-j=-1