Question

高二立体几何题

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2
（1）求证：AO垂直于平面BCD
（2）求异面直线AB和CD所成角的大小
（3）求点E到平面ACD的距离

Answer 1

1、在等腰直角三角形ABD中，AO垂直于BD
且有AO=1,CO=√3,AC=2,所以AO垂直于CO
所以：AO垂直于平面BCD
2、向量法
以下都表示向量AB*CD=(AO+OB)*CD=OB*CD=OB*(CO+OD)=OB*OD=-1
取正值，所以：1=√2*2*cosr
夹角为r=arccos(√2/4)
3、因为OE平行于平面ACD
所以：即求点O到平面ACD的距离
用体积法
把ODC看成底面，此时V=(1/3)*1*(1/2)*√3*1=√3/6
把ACD看成底面，V=(1/3)h*（1/2）*√7
所以：点E到平面ACD的距离为h=(√21)/7