Question

如图所示,圆O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过点P作圆O的切线,切点为C,连接AC.

(1)若角CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，角CPA的平分线交AC于点M。你认为角CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出角CMP的大小。

Answer 1

额。。我没法写出详细过程，电脑打字不方便。
连接OC
(1)因为pc是圆o的切线，所以角OCP=90度
所以三角形OCP为直角三角形(且是三个角分别为30,60,90的)
因为OC为圆O半径，OC为角CPA所衫拍对短边
所以OC=2，OP=4
所以CP=2根号3
(2)不变乱塌或
因为CP是切线，所以角OCP=90度不变
所以角COP=90-角CPO
因为OC，OA为半径，所哗伍以OC=OA
所以角OAC=角OCA=角COP除以2
所以角CMP=角MAP+角MPO
=1/2角COP+1/2角CPO
=1/2(90-角CPO)+1/2角CPO
=45-1/2角CPO+1/2角CPO
=45度

注：此题一直使用定理：三角形某一角的补角必然等于它另外两个内角和的定理。。

Answer 2

(1)由切线定律或梁悄可知OC垂直CP,OC=2所以CP=跟号3 (2)设CO与MP交于点X。由题有<CMP=180°-<MCO-<MXC 因为OA=OC 所以<MXC=<CAO <MXC=<OXP <A+<ACO=<COP 所以<A=1/2<COP 所以<CMP=180°-1/2<COP-<OXP 所以衫渣<CMP=180°-(180°-1/2<COP-<XPO)=1/2<渣此COP+<XPO=1/2(<COP+<CPO)=1/2*90°=45°

Answer 3

1.连结OC 则∠OCP=90° OC=AB/2=4 ∠CPA=30° OP=4 勾股定理 PC=2√3
2.∠CMP的大小不会发生变喊神化
如图 ∠2=2∠A ∠A =∠2/2
AM为∠CPA的平分线 ∠1=∠APC/2
∵∠OCP=90° ∴ ∠2+∠APC=90°
∠CMP=∠A +∠1=∠码灶2/2 +∠APC/2=（∠2 +∠迟渗扮APC）/2=90°/2=45°

Answer 4

解：（1）连接OC．
∵PC为⊙O的切线，
∴氏或PC⊥OC．
∴∠PCO=90度．
∵∠ACP=120°
∴∠ACO=30°
∵睁羡OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30度．
∴∠BOC=60°
∵OC=4
∴
∴S阴影=S△OPC-S扇形BOC= ；

（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°
由（1）知∠BOC+∠OPC=90°
∵PM平分∠APC
∴∠APM= ∠APC
∵∠A= ∠BOC
∴∠PMC=∠A+∠APM= （∠BOC+∠OPC）悉核拍=45°

Answer 5

(1)因为pc是圆o的切线，所以角OCP=90度
所以三角形OCP为直角三角形(且是三个角分别为30,60,90的)
因为OC为圆O半态衡径，OC为角CPA所对短边
所以敬闭者OC=2，OP=4
所以CP=2根号3
(2)不变
因为CP是切线，所以角OCP=90度不变
所以角COP=90-角CPO
因为OC，OA为半径，所以OC=OA
所以角OAC=角OCA=角COP除以2
所以角CMP=角MAP+角MPO
=1/亮薯2角COP+1/2角CPO
=1/2(90-角CPO)+1/2角CPO
=45-1/2角CPO+1/2角CPO
=45度