Question

如图,△ABC内接于圆O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=1/2BC

如图,△ABC内接于圆O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=1/2BC.
(1)求∠BAC的度数.
(2)将△ACD延AC折叠为△ACF,将△ABD延AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于H.求证：四边形AFHG为正方形.
(3)若BD=6，CD=4，求AD的长.

Answer 1

（1）解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝ BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． ……（2分）
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ……（3分）
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形． ……（5分）
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． ……（7分）
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12． ……（8分）

Answer 2

解：连接OC、OB、
1、∵OE⊥BC且OE＝BC/2
∴OE＝CE＝EB
∴∠OCB＝∠COE＝45°
∴∠COB＝90°
∵∠CAB与∠COB所对应圆弧均为小弧BC
∴∠CAB＝∠COB/2＝45°
2、∵△ACD沿AC折叠为△ACF，且AD⊥BC
∴AE＝AD，∠E＝90°，∠DAC＝∠EAC
∵△ABD沿AB折叠为△ABG，且AD⊥BC
∴AG＝AD，∠G＝90°，∠DAB＝∠GAB
∴∠EAG＝∠EAC+∠DAC+∠DAB+∠GAB＝2（∠DAC+∠DAB）＝2∠COB＝2*45°＝90°
∵∠E＝90°，∠G＝90°，∠EAG＝90°,AE＝AD，AG＝AD
∴四边形AFHG为正方形
3、作OM⊥AD，交AD于M；连接OA
∵BD=6，CD=4
∴BC＝10
∵OE＝BC/2
∴OE＝5
∵∠COE＝45°
∴OA＝OC＝5√2
∵AD⊥BC，OE⊥BC，OM⊥AD
∴四边形DEOM为矩形
∴MD＝OE＝5,OM＝DE
∵CD＝4,CE＝5
∴OM＝DE＝1
∴AM²＝OA²+OM²
∴AM＝7
∴AD＝AM+MD＝7+5＝12

Answer 3

1、角BAC=45度

2、证明：将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠△ABG

所以：AD=AF，AD=AG 角BAD=角BAG 角DAC=角CAF

AF=AG

又因为角BAD+角DAC=45度

所以角AGF=角BAD+角BAG+角DAC+角CAF=90度

因为AD⊥BC所以角AFH=90度，角AGH=90度

所以四边形AFHG是正方形

3、AD=12

Answer 4

解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC
∴ BE＝CE．
∵ OE＝ 1/2BC
∴ ∠BOC＝90°
∠BAC＝45°．
（2）证明：∵ AD⊥BC
∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，
AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（舍去）．
∴ AD＝12．

Answer 5

）解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝ BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． ……（2分）
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ……（3分）
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形． ……（5分）
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． ……（7分）
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12． ……（8分）

Answer 6

）解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝ BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． ……（2分）
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ……（3分）
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形． ……（5分）
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． ……（7分）
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12． ……（