Question

一道高中文科数学题

整数数列｛an｝的前n项和为Sn，且2√Sn=an+1 (√代表根号）
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）设bn= 1 / [an×a(n+1)] ，｛bn｝的前n项和为Tn，求证：Tn＜1/2

Answer 1

a1=2√ S1-1
a1=2√a1-1
a1-2√a1+1=0
(√a1-1)^2=0
a1=1

an=2√ Sn-1
2√ Sn=an+1
4Sn=(an+1)^2
4S(n-1)=[a(n-1)+1]^2
以上两式相减得
4Sn-4S(n-1)=(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2
4an=(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2
4an=(an)^2+2an+1-[a(n-1)]^2-2a(n+1)-1
(an)^2-2an-[a(n-1)]^2-2a(n+1)=0
(an)^2-[a(n-1)]^2-2an-2a(n+1)=0
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an-a(n-1)-2][an+a(n-1)]=0
因为正整数{an}
所以[an+a(n-1)]≠0
即[an-a(n-1)-2]=0
an-a(n-1)=2
即an 是以首项a1=1,公差为2的等差数

an=a1+(n-1)d
=1+(n-1)*2
=2n-1