Question

一道数学题，帮忙解下。

以知函数f(x)对任意的实数x , y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1 。若x∈N, 试求f(x)的解析式。

Answer 1

把f(x)=x平方-1代入，得：
x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤【（x-1)^2-1】+4（m^2-1)
展开，消去4m^2,得：x^2/m^2-1-4m^2x^2≤x^2-2x-4
把x^2项合并，常数合并，得：（1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3
因为x≠0，所以1/m^2-4m^2-1≤（-2x-3)/x^2
令y=（-2x-3)/x^2,x∈[3/2，+∞),对y求导，知当x在（-2,0）时y递减，在（-∞，-2】和【0，+∞）时递增。所以y的最小值在x=3/2处取到，此时y1=-8/3
所以1/m^2-4m^2-1≤-8/3。同乘m^2,整理得：12m^4-5m^2-3≥0
因式分解，（4m^2-3)(3m^2+1）≥0,所以4m^2-3≥0
即m∈（-∞，-根号3/2】∪【根号3/2,+∞）

Answer 2

f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1
代入y=1

f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4

f(x+1)=f(x)+2x+4
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
f(x-1)=f(x-2)+2(x-2)+4
……这些式子累加

f(x)=x^2+3x-3

Answer 3

x , y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1 。若x∈N, 试求f(x)的解析式。

Answer 4

f(x)=x^2+3x-3