Question

一道高中文科数学题

在数列｛an｝中，a1=2，a(n+1)=4×an - 3×n +1 (n为正整数）
（1）证明数列｛an-n｝是等比数列
（2）求数列｛an｝的前n项和Sn
（3）证明不等式S(n+1)≤4×Sn，对任意的n属于正整数皆成立

Answer 1

a(n+1)=4×an - 3×n +1
a(n+1)-(n+1)=4×an - 3×n +1-(n+1)=4(an-n)
所以 数列｛an-n｝是等比数列

先求 数列｛an-n｝的通项

an-n=4^(n-1)(a1-1)=4^(n-1)

所以 an=4^(n-1)+n

Sn=4^n/3-1/3+n^2/2+n/2

所以 S(n+1)=4^（n+1）/3-1/3+（n+1）^2/2+（n+1）/2

S(n+1)≤4×Sn 移项后化简
3n^2+n≥2
对任意的n属于正整数皆成立
所以 不等式S(n+1)≤4×Sn，对任意的n属于正整数皆成立