Question

已知关于x的二次函数f(x)=x^2+(2t-1)x+1-2t 若0.5<t<0.75求证：f(x)=0方程在区间(-1,0)及(0,0.5)上各...

已知关于x的二次函数f(x)=x^2+(2t-1)x+1-2t 若0.5<t<0.75求证：f(x)=0方程在区间(-1,0)及(0,0.5)上各有一个实数根。

Answer 1

由0.5＜t＜0.75得：
f(-1)=(-1)^2+(2t-1)*(-1)+1-2t=3-4t＞0
f(0)=1-2t＜0
f(0.5)=3/4-t＞0
所以：f(x)=0方程在区间(-1,0)及(0,0.5)上各有一个实数根。

Answer 2

f(0)=1-2t,因t>0.5,故1-2t<0,即f(0)<0
f(-1)=1-(2t-1)+1-2t=3-4t,因t<0.75,故3-4t>0,即f(-1)>0
f(0.5)=0.25+0.5(2t-1)+1-2t=0.75-t,因t<0.75,故0.75-t>0,即f(0.5)>0
f(x)在(-1,0)和(0,0.5)两端分别变号命题得证。

Answer 3

1/2<t<3/4,可得f(-1)=>0，f(0)=1-2t<0，f(1/2)=3/4-t>0，f(-1)*f(0)<0
由f(x)连续，则至少存在一个-1<x<0,使f(x)=0
f(0)*f(1/2)<0则至少存在一个0<x<1/2,使f(x)=0
该二次方程至多有两个实根，故得证。