Question

一道数学题,求高手

函数f(x)的定义域为[0,1]且f(0)=f(1),当x1、x2∈[0,1],x1≠x2时都有∣f(x2)-f(x1)∣<∣x2-x1∣,求证: ∣f(x2)-f(x1)∣<1/2

Answer 1

证明：反证法。假设存在一组a,b∈[0,1].且不妨设0≤a＜b≤1.虽然有|f(b)-f(a)|＜|b-a|,但使得|f(b)-f(a)|≥1/2.由题设条件可知，|f(b)-f(a)|=|[f(b)-f(1)]+[f(0)-f(a)]|≤|f(1)-f(b)|+|f(a)-f(0)|＜(1-b)+(a-0)=1-|b-a|＜1-|f(b)-f(a)|.===>2|f(b)-f(a)|＜1.===>|f(b)-f(a)|＜1/2.这与假设矛盾，故假设不成立，∴原命题成立。

Answer 2

不妨令 x1<x2

1)当 x2-x1<1/2 时，显然有 ∣f(x2)-f(x1)∣<1/2

2)当 x2-x1>1/2 时，
∣f(x2)-f(x1)∣=∣f(x2)-f(1) + f(0)-f(x1)∣
≤∣f(x2)-f(1)∣+∣f(0)-f(x1)∣
< 1-x2+x1 < 1-1/2=1/2

综上，∣f(x2)-f(x1)∣<1/2

Answer 3

x2-x1<1/2 显然
x2-x1>1/2
∣f(x2)-f(x1)∣=∣f(x2)-f(0)-f(x1)+f(1)∣<∣f(x1)-f(0)∣+∣f(x2)-f(1)∣<∣x1∣+[x2-1]<1/2