Question

高中数列问题！！！

某商场橱窗用乒乓求堆成若干堆“正三棱锥”形的产品,其中第一堆只有一层，就一个球；第2、3、4、...堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然累放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球数则f(n)=？
！！！

Answer 1

第n堆的底层的乒乓球个数为
1+2+……+n=[n(n+1)]/2
即f(n)-f(n-1)=(n^2+n)/2
记f(n)=a(n)
即a(n)-a(n-1)=(n^2)/2+n/2
┆ ┆ ┆
a3 - a2 = 3^2/2+3/2
a2 - a1 =2^2/2+2/2
(叠加法）将所有式子相加，得：
a(n)-a1=1/2(2^2+3^2+…+n^2)+1/2(2+3+…+n)
∵公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2
=(1/6)(n+1)(2n+1)n
∴2^2+3^2+…+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)-1
∴a(n)-a1=1/2[(1/6)n(n+1)(2n+1)-1]+1/2{[(2+n)(n-1)]/2}
∵a1=1
∴a(n)=1/2[(1/6)n(n+1)(2n+1)-1]+1/2{[(2+n)(n-1)]/2}+1
=(1/6)n^3+(1/2)n^2+(1/3)n
=(1/6)n(n+1)(n+2)
即f(n)=(1/6)n(n+1)(n+2)