Question

已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R,(1)若D为BC中点,向量AD=(m,2),求a、m的值(2)若三角形ABC是直角三角形，

求a值

Answer 1

（1）解：向量BC=向量AC-向量AB=(-1,a)-(3,1)=(-4 ,a-1)
因为： D为BC中点，所以， 向量BD=向量BC/2=(-2 ,(a-1)/2）
又因为：向量AD=向量AB+向量BD=(3 ,1)+(-2 ,(a-1)/2)=(m,2)
所以：3-2=m ,1+(a-1)/2=2
解之， m=1 , a=3
（2）解：由（1）得：向量BC=(-4 ,a-1)
由题仅知三角形ABC是直角三角形 , 而未确定那个是直角，故将分三种情况讨论：
1、 当 AB⊥AC ，向量AB*向量AC=0
即：3×（-1）+1×a=0 ,
所以， a=3
2、 当 AB⊥BC ，向量AB*向量BC=0
即：3×（-4）+1×(a-1)=0 ,
所以， a=13
3、 当 AC⊥BC ，向量AC*向量BC=0
即：(-1)×（-4）+a×(a-1)=0 ,
得方程：a^2-a+4=0 即： (a-1/2)^2=-15/4<0 无实数根
所以，a 不存在
所以， 当 a=3 时 ，三角形ABC是直角三角形且∠CAB=90°
或 当 a=13时 ，三角形ABC是直角三角形且∠ABC=90°
解毕！

Answer 2

该题可设A点为原点（0，0），则B（3，1），C（-1，a），则第一问中，D即为BC的中点，
即2m=3-1=2,得m=1，1+a=2*2=4，a=3.
第二问中，设AC垂直于AB，则有1/3*a/(-1)=-1,得a=3；
再设AC垂直于BC，则有-a*(1-a)/4=-1,得a的平方-a+4=0,无解。
所以a=3.