Question

在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE=AB,并且作EF垂直AC交BC于F，求证，BF=EC

Answer 1

因为 AB=AE，所以角ABE = 角AEB；
因为 角ABC = 角AEF = 90度，角EBF=ABC-ABE，角BEF=AEF-AEB，
所以角EBF = 角BEF；
所以BF=EF；（1）
因为角FEC = 90度，角ECF= 45度，所以角EFC=45度，EFC等腰直角三角形，EF=FC；（2）
所以由（1）（2）得BF=FC

Answer 2

证明：连结AF
∵EF⊥AC
∴∠AEF=∠FEC=90°
∴∠B=∠AEF
在RT△ABF和RT△AEF中
AF=AF
AB=AE
∴RT△ABF全等RT△AEF（HL）
∴BF=EF
∵正方形的对角线是角平分线
∴∠ECF=45°
∴∠EFC=45°
∴△EFC是等腰三角形
∴EF=EC
∴BF=EC