Question

已知函数f（x）=x-根号下（x+1）

已知函数f（x）=x-根号下（x+1）
（1）试求f（x）的单调区间，并证明f（x）在单调区间上的单调性；
（2）当x≥-1时 不等式f(x)+13/4≥a(a+1)恒成立 试求实数a的取值范围
请大家详细点，谢谢！！

Answer 1

（1）令t=根号下（x+1），则 t≥0，x=t²-1
f(x)=t²-t-1
令g(t)=t²-t-1=(t-1/2)²-5/4

当t≥1/2，即x≥-3/4，此时g(t)单调递增，f(x)单调递增。
当0≤t＜1/2，即-1≤x＜-3/4，此时g(t)单调递减，f(x)单调递减。

即
f(x)在区间[-1,-3/4)上，单调递减；
f(x)在区间[-3/4,+∞)上，单调递增。

（2）将x≥-1分开两个区间，即[-1,-3/4)∪[-3/4,+∞)
根据f(x)的单调性，
在区间[-1,-3/4)上，因为单调递减，故f(x)min=f(-3/4)
在区间[-3/4,+∞)上，因为单调递增，故f(x)min=f(-3/4)
所以在区间[-1,+∞)上，f(x)min=f(-3/4)=-5/4
所以f(x)+13/4的最小值为-5/4+13/4=2
当x≥-1时要使不等式f(x)+13/4≥a(a+1)恒成立，只需
a(a+1)≤2，即
a²+a-2≤0，即
(a-1)(a+2)≤0，解得
-2≤a≤1