Question

若实数a，b满足a+b=2，求3^a+3^b的最小值

Answer 1

b=2-a
3^a+3^b=3^a+3(2-a)=3^a+9/3^a
取3^a=x，则x的值域为（0，+oo)
原式变为x+9/x
对于f(x)=x+9/x
f(x+dx)-f(x)=x+dx+9/(x+dx)-(x+9/x)=dx+9[x-(dx+x)]/[(x+dx)dx]=dx-9dx/[(x+dx)x]
0<dx<<x,且dx无限趋近于0
f(x+dx)-f(x)=dx*(1-9/[(x+dx)x]=dx*(1-9/x^2)
显然，x=3是分界点，x<3时，f(x)单调递减；x>3时，f(x)单调递增，x=3时有最小值。
所以，3^a+3^b=x+9/x的最小值为6,此时x=3，a=1，b=1.

Answer 2

b=2-a
3^a+3^b=3^a+3^(2-a)=3^a+9/3^a>=2*3=6
所以最小值为6，此时a=b=1

Answer 3

a+b＞=2√ab,得1＞=ab
3^a+3^b=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]=2×(4-3ab)＜=2