Question

高三 数列 数学高手进 回答详细

设Tn为数列｛an｝的前n项之积，满足Tn=1-an（N属于正整数）
【1】设bn=1/an,证明数列｛bn｝是等差数列，并求an和bn。

Answer 1

【注：本解法按：Tn为{an}的前n项之积来做，且Tn=1-an.在此前提下，应有bn=1/(1-an).】（一）由题设可得：a1=T1=1-a1.===>a1=1/2.a2=T2/a1=2(1-a2).===>a2=2/3.∴a1=1/2,a2=2/3.且T(n+1)=Tn×a(n+1).===>1-a(n+1)=(1-an)×a(n+1).===>[1-a(n+1)]/a(n+1)=1-an.===>a(n+1)/[1-a(n+1)]=1/(1-an).===>1/[1-a(n+1)]=[1/(1-an)]+1.∵bn=1/(1-an).∴b(n+1)=1+bn.∴数列{bn}是公差为1的等差数列。b1=1/(1-a1)=2,b2=1/(1-a2)=3,∴bn=n+1.(n=1,2,3,...).∴an=1-(1/bn)=n/(n+1).(n=1,2,3,...).综上可知，an=n/(n+1),bn=n+1.(n=1,2,3,...)

Answer 2

T1 = 1-a1 = a1，所以a1=1/2
T2 = 1-a2 = a2*T1 =a2 * 1/2，故a2=2/3
T3 = 1-a3 = a3*T2 =a3 * 1/3，故a3=3/4
T4 = 1-a4 = a4*T3 =a4 * 1/4，故a4=4/5
... ...
Tn = 1-an = an*Tn-1 =an * 1/n，故

an=n/(n+1)

bn=1/an=(n+1)/n=1+1/n

bn+1 -bn=1+1/(n+1) -1-1/n= -1/[n(n+1)]不是常量

由此可见数列{bn}不是等差数列！

Answer 3

根据你的公式Tn=1-an能求出a1=1/2,a2=2/3,a3=3/4,那么b1=2,b2=3/2,b3=4/3
b1+b3很明显不等于2b2
所以你这个题本身就出错了,或者你打错了

另外,riverhq 的回答,明明说是Tn为数列｛an｝的前n项之积,你用T(n+1) -Tn,怎么可能等于a(n+1)?除非他说的是Tn为｛an｝的前n项之和

Answer 4

T1=a1=1-a1,所以a1=1/2。T1=1-a2=a1

Answer 5

不好意思，开始看成Tn为数列｛an｝的前n项之和了。
现更正，
Tn=1-an
T(n+1)=1-a(n+1)
a(n+1)=T(n+1)/Tn= [1-an]/[1-a(n+1)]
整理得到：
1/[1-a(n+1)]-1/[1-an]=1
令bn=1/[1-an]，则：
b(n+1)-bn=1
所以bn是等差数列
a1=T1=1-a1
a1=0.5
b1=1/(1-0.5)=2
所以bn=n+1
an=(bn-1)/bn=n/(n+1)
以上n=1,2,3……