Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x)如果满足以一三个条件：1、对任意的x属于[0，1]，总有f(x)>=2，2、f(1)=3，

对于定义域为[0，1]的函数f（x)如果满足以一三个条件：1、对任意的x属于[0，1]，总有f(x)>=2，2、f(1)=3，3、若x1>=0， x2>=0，x1+x2<=1，都有f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2)-2成立，则称函数f(x)为理想函数。（1）判断函数g(x)=2^x+1是否为理想函数，并证明。（2）证明理想函数f(x)对定义域内任意的x1<x2都有f(x1)<=f(x2).（3）某同学发现，对于理想函数f(X),当x=1/2^n，n属于N，有f(1/2^n)<=(1/2^n)+2，由此他提出猜想：对一切x属于（0，1]，都有f(x)<2x+2，请根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由。请写上详细过程，不要用求导的方法。

Answer 1

1.g（0）=1＜2，不满足第一个条件，故g（x）不是理想函数
2.理想函数f(x)对定义域为[0，1]，则对任意0＜x1<x2＜1，1>x2-x1>0
有f （x2)=f(x1+x2-x1)>=f(x1)+f(x2-x1)-2 因为f(x2-x1)>=2
f(x1)-f(x2)<=2-f(x2-x1)<=0
f(x1)<=f(x2).
3.

Answer 2

2

Answer 3

2