Question

高中基本不等式

已知 a b属于R+ 求证 a^2+b^2 ≥ ab+a-b-1

最重要过程清晰易懂 谢谢

Answer 1

证明：a b属于R+可知

a^2+1 ≥2a
b^2+1 ≥2|b|≥-2b
a^2+b^2≥2ab

上述三个不等式相加，得 2（a^2+b^2)+2≥2a-2b+2ab
所以 a^2+b^2 ≥ ab+a-b-1

方法2 2（a^2+b^2)-2（ab+a-b-1）
=( a^2+b^2-2ab)+(a^2-a+1)+(b^2+2b+1)
=(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2 ≥0
所以 2（a^2+b^2)≥2（ab+a-b-1）
即 a^2+b^2 ≥ ab+a-b-1

Answer 2

2（ a^2+b^2）－2（ ab+a-b-1 ）
＝a＾2－2ab＋b＾2 ＋ a＾2－2a＋1 ＋ b＾2＋2b＋1
＝ （a－b）＾2＋（a－1）＾2＋（b＋1）＾2＞＝ 0
所以 a^2+b^2 ≥ ab+a-b-1