Question

【急】图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处。

∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M。
（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN
（2）如图②，当DF‖AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由。

Answer 1

(1)Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1/2AB,又D为AB中点，所以AD=BD=BC .
所以∠CDB=60°,△BCD是正△。又CN⊥AB，所以DN=BN=1/2BD ①。
又∠EDF=90°，∠CDB=60°所以∠EDA=30°=∠A，AG=DG，又GM⊥AD，所以AM=DM=1/2AD ②。
由①②，AM=DN
(2)因为DF‖AC所以△DHB和△AGD为Rt△，∠A=∠HDB=30°，AD=BD
所以Rt△ADG全等于Rt△BDH ，GM=HN（全等Rt△斜边上的高相等）
所以Rt△AMG全等于Rt△DNH
所以AM=DN

Answer 2

（1）证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．
∴CD=AD=BD，
又∠B=90°-∠A=60°，
∴△BCD是等边三角形．
又∵CN⊥DB，
∴DN=1/2DB．

∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，
∴∠ADG=30°，而∠A=30°．
∴GA=GD．
∵GM⊥AB，
∴AM=1/2AD．

又∵AD=DB，
∴AM=DN．

（2）解：（1）的结论依然成立．理由如下：
∵DF∥AC，
∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，
∴∠ADG=60°．
∵∠B=60°，AD=DB，
∴△ADG≌△DBH，
∴AG=DH．
又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，
∴△AMG≌△DNH，
∴AM=DN．
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