Question

设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(an+1)^2/4(an>0,n∈N*),求an的表达式？ 请写下详细过程，谢谢...在线等哦

Answer 1

因为Sn=((an+1)^2)/4，
所以S(n-1)=[(a(n-1)+1)^2]/4,
所以Sn-S(n-1)=[(an+a(n-1)+2)*(an-a(n-1))],
所以4an=(an)^2+an*a(n-1)+2an-an*a(n-1)-[a(n-1)]^2-2a(n-1),
所以2an=(an)^2-[a(n-1)]^2-2a(n-1)
所以2[an+a(n-1)]=[an-a(n-1)]*[an+a(n-1)]
所以2=an-a(n-1)。
因此2=a2-a1,
2=a3-a2
2=a4-a3
.......
......
2=an-a(n-1),
将上面各式相加(有n-1项)，得到：
2(n-1)=an-a1
所以an=2n-2+a1
因为s1=a1=[(a1+1)^2]/4,所以a1=1,
所以an=2n-1

验证a1是否为1,a1=2*1-1=1,所以得证。