Question

一道奥数题，请高手解答。

已知AC，BD为圆内相互垂直的两条弦，交于点E，求AE^2+BE^2+CE^2+DE^2为定值。
请给出详细解答， 谢谢.

Answer 1

若b,c,重合则有定值为直径的平方，猜想AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=直径的平方。
过c做cf平行于BD交圆于F，所以AC垂直于CF,YOU AC^2+CF^2=直径的平方=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2,
即证：AC^2+CF^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2，因为，AC^2=(AE+EC)^2=AE^2+CE^2+2*AE*EC,CF^2=(BE-DE)^=BE^2+DE^2-2*BE*DE;即证：2*AE*EC-2*BE*DE=0；因为三角形EDC相似于三角形EAB，所以，ED/EA=EC/EB;所以ED*EB=EA*EC,
所以猜想成立，定值为直径的平方 .
自己好好理解吧！

Answer 2

若b,c,重合则有定值为直径的平方，猜想AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=直径的平方。
过c做cf平行于BD交圆于F，所以AC垂直于CF,YOU AC^2+CF^2=直径的平方=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2,
即证：AC^2+CF^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2，因为，AC^2=(AE+EC)^2=AE^2+CE^2+2*AE*EC,CF^2=(BE-DE)^=BE^2+DE^2-2*BE*DE;即证：2*AE*EC-2*BE*DE=0；因为三角形EDC相似于三角形EAB，所以，ED/EA=EC/EB;所以ED*EB=EA*EC,
所以猜想成立，定值为直径的平方