Question

如图，在△ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE，等边△BCF

1 试说明：四边形DAEF是平行四边形（说明理由） 2当△ABC满足（ ）条件时，四边形DAEF是矩形 当△ABC满足（ ）条件时，四边形DAEF是菱形 当△ABC满足（ ）条件时，以D, A , E , F为顶点的四边形不存在 图片地址：

Answer 1

1 试说明：四边形DAEF是平行四边形（说明理由）
证明△CEF≌△CAB≌△BDF即可（根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

2
当△ABC满足（∠BAC=150°）时，四边形DAEF是矩形

当△ABC满足（AB=AC）时，四边形DAEF是菱形

当△ABC满足（∠BAC=60°）时，以D, A , E , F为顶点的四边形不存在

Answer 2

（1）、根据等边三角形的性质证△ABC≌△DBF≌△EFC，就有AD=EF，DF=CE，从而得证四边形DAEF是平行四边形；
（2）、当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，所以平行四边形DAEF是矩形；
当AB=AC≠BC，有AD=AE，所以平行四边形DAEF是菱形；
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．解答：证明：（1）∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FAB=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC
∴△ABC≌△DBF（2分）
∴AC=DF=AE（3分）
同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD（4分）
∴四边形ADFE是平行四边形（6分）

（2）当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°
∴平行四边形DAEF是矩形
当AB=AC≠BC，有AD=AE
∴平行四边形DAEF是菱形
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．点评：本题利用了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质．

2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足∠BAC=150°条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足AB=AC≠BC条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足∠BAC=60°条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

Answer 3

如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形
首先我们来证明DAEF为平行四边形
角DBF=60度-角FBA=角ABC
而DB=AB, BF=BC
三角形DBF全等于三角形ABC
所以:DF=AC=AE
同理可证:DA=FE
所以:DAEF为平行四边形

(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形
则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度
(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)

(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形
则必须:AB=AC

(3)如果:角BAC=60度
则:角DAE=3*60度=180度
D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

据此,(2)的结论应稍加改变为:
当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形